Nuovo metodo per la risoluzione del problema classico di Snellius-Photénot, Snellius ampliato e Hansen.

Su una rivista di categoria di qualche anno fa, si trova un articolo di topografia che propone “un nuovo metodo per la soluzione del problema classico di Snellius-Photénot”, elaborato dal Geom. Renato Righi e sottoposto all’attenzione del Prof. Giorgio Folloni, Ordinario della cattedra di Topografia e Geodesia all’università di Bologna.

Senza nulla togliere al lavoro del collega, espongo una nuova e più semplice formulazione dello stesso, evidenziandone la generalità e la naturale estensione agli altri classici problemi collegati di Snellius ampliato e di Hansen. La novità del metodo consiste nel ricavare gli angoli φ e ψ, il resto dei passaggi per arrivare alla soluzione finale rimane identico al metodo classico.

Propongo altresì la soluzione, mediante l’utilizzo dell’equazione di secondo grado, di una intersezione inversa a configurazione pentagonale.

Come per il problema di Snellius anche in questo caso si fa riferimento a tre punti trigonometrici e mediante due punti di stazione si rilevano tre angoli (5 osservazioni angolari) e la distanza tra le stazioni. L’equazione di secondo grado fornisce come radici il valore di due seni e a loro volta daranno quattro angoli candidati alla soluzione del problema.

Nella mia trattazione non mi sono soffermato sulla procedura da seguire per la ricerca della soluzione specifica tra le tante fornite, dato che argomentazioni del genere si trovano estesamente descritte su riviste specializzate tra le quali va ricordata la “Rivista del Catasto e dei Servizi Tecnici Erariali”, curata da Valentino Tomelleri.

La formula risolvente si ricava elaborando il sistema non lineare:

\textcolor{black}{\begin{cases} {φ+ψ=ω} \\ \displaystyle{{\frac {sin ψ} {sinφ}} = H} \end{cases}}        1.1

con φ, ψ incognite e H, ω termini noti.

Sostituendo ψ=ω-φ nella seconda equazione si ha:

\textcolor{black}{\displaystyle\frac {sin(ω-φ)} {sinφ} = H}

applicando la formula di sottrazione del seno al primo membro si ottiene:

\textcolor{black}{\displaystyle\frac {sinω cosφ -cosω sinφ } {sinφ} = H}

separando la frazione al primo membro risulta:

\textcolor{black}{\displaystyle\frac {sinω} {tgφ} -cosω= H}

risolvendo rispetto a tgφ si ottiene la formula finale generale.

\textcolor{black}{ {tgφ}=\displaystyle\frac {sinω} {H+cosω}}        1.2

che unita alla ψ=ω-φ fornisce le soluzioni del sistema non lineare 1.1:

\textcolor{black}{ \begin{cases} φ=arctg(\displaystyle\frac {sinω} {H+cosω}) \\ {ψ=ω-φ} \end{cases} }        1.3

 

Snellius Photénot

Dati:\begin{cases} {Calcolati: a,b,α_0} \\ {Misurati: α_1, α_2} \end{cases}

Tra i dati esiste la seguente relazione angolare: φ+ψ=360^o-(α_0+α_1+α_2)=ω            2.1

Con il teorema dei seni ricaviamo il lato T_2 P dai due triangoli {T_1 T_2 P} e {T_2 T_3 P}

T_2 P={\displaystyle\frac {a \cdot sinφ} {sin α_1} }
 
T_2 P={\displaystyle\frac {b \cdot sinψ} {sin α_2} }
 
Uguagliamo le due espressioni equivalenti e ricaviamo:
 
{\displaystyle\frac { sinψ} {sinφ}}={\displaystyle\frac {a \cdot sin α_2} {b \cdot sin α_1}}=H              2.2
 
Ponendo a sistema le due equazioni 2.1 e 2.2 si ottiene il sistema non lineare 1.1 risolvibile con la 1.3.

H={\displaystyle\frac {a \cdot sin α_2} {b \cdot sin α_1}}
 
ω=360^o-(α_0+α_1+α_2)
 
\textcolor{black}{ \begin{cases} φ=arctg(\displaystyle\frac {sinω} {H+cosω}) \\ {ψ=ω-φ} \end{cases} }
 

Snellius Ampliato

Dati:\begin{cases} {Calcolati: a,b,α_0} \\ {Misurati: α_1, α_2, α_3, β_1, β_2, β_3} \end{cases}

Tra i dati esiste la seguente relazione angolare: φ+ψ=720^o-( α_1+α_2+α_3+β_1+ β_2+ β_3)=ω             3.1

Applicando ora il teorema dei seni ai triangoli {T_1 T_2 P},{T_2 Q P},{T_2 R Q}, {T_2 T_3 R}, si ottiene:

{\displaystyle\frac c {sin φ}}={\displaystyle\frac a {sin α_1}}
 
{\displaystyle\frac d {sin β_1}}={\displaystyle\frac c {sin α_2}}
 
{\displaystyle\frac e {sin β_2}}={\displaystyle\frac d {sin α_3}}
 
{\displaystyle\frac b {sin β_3}}={\displaystyle\frac e {sin ψ}}
 
Moltiplicando tra di loro i primi e i secondi membri, si ottiene uguagliando e semplificando:

\color{black}\displaystyle{{\frac c {sin φ}} \cdot {\frac d {sin β_1}} \cdot {\frac e {sin β_2}} \cdot {\frac b {sin β_3}} ={\frac a {sin α_1}} \cdot {\frac c {sin α_2}} \cdot {\frac d {sin α_3}} \cdot {\frac e {sin ψ}}}

\color{black}\displaystyle{{\frac { sinψ} {sinφ}}=\frac {a \cdot {sin β_1} \cdot {sin β_2} \cdot {sin β_3}} {b \cdot {sin α_1} \cdot {sin α_2} \cdot {sin α_3}}=H}        3.2

Ponendo a sistema le due equazioni 3.1 e 3.2 si ottiene il sistema non lineare 1.1 risolvibile con la 1.3.

\color{black}\displaystyle{H=\frac {a \cdot {sin β_1} \cdot {sin β_2} \cdot {sin β_3}} {b \cdot {sin α_1} \cdot {sin α_2} \cdot {sin α_3}}}
 
ω=720^o-( α_1+α_2+α_3+β_1+ β_2+ β_3)
 
\begin{cases} \color{black}\displaystyle{φ=arctg(\frac {sinω} {H+cosω})} \\ {ψ=ω-φ} \end{cases}
 

Hansen

Dati:\begin{cases} {Calcolato: a} \\ {Misurati: α_1, α_2, β_1, β_2} \end{cases}

Tra i dati esiste la seguente relazione angolare: φ+ψ=180^o-( α_1-α_2)=ω             4.1

Applicando ora il teorema dei seni ai triangoli: {T_1 T_2 P},{T_1 P Q},{T_1 Q P}, si ottiene:

\color{black}\displaystyle{{\frac b {sin ψ}}={\frac d {sin φ}}}
 
\color{black}\displaystyle{{\frac c {sin(α_1+β_1)}}={\frac b {sin β_1}}}
 
\color{black}\displaystyle{{\frac c {sin(α_2+β_2)}}={\frac d {sin β_2}}}
 
Moltiplicando tra di loro i primi e i secondo membri , si ottiene uguagliando e semplificando:
 
\color{black}\displaystyle{{\frac b {sin ψ}} \cdot {\frac c {sin(α_1+β_1)}} \cdot {\frac d {sin β_2}}={\frac d {sin φ}} \cdot {\frac b {sin β_1}} \cdot {\frac c {sin(α_2+β_2)}}}

\color{black}\displaystyle{{\frac { sinψ} {sinφ}}=\frac {{sin(α_2+ β_2)} \cdot {sin β_1}} {{sin(α_1+ β_1)} \cdot {sin β_2}}=H}        4.2

Ponendo a sistema le due equazioni 4.1 e 4.2 si ottiene il sistema non lineare 1.1 risolvibile con la 1.3.

\color{black}\displaystyle{H={\frac { sinψ} {sinφ}}=\frac {{sin(α_2+ β_2)} {sin β_1}} {{sin(α_1+ β_1)} {sin β_2}}}
 
\color{black}\displaystyle{ω=180^o-(α_1-α_2)}
 
\color{black}\displaystyle{\begin{cases} φ=arctg(\displaystyle\frac {sinω} {H+cosω}) \\ {ψ=ω-φ} \end{cases}}
 

Articolo pubblicato sulla rivista “Geometra Informazioni Tecniche”, organo ufficiale dei Collegi dei Geometri di Belluno, Padova, Treviso e Venezia il 4 aprile 1998.