Intersezione inversa a configurazione pentagonale

Dati:\begin{cases} {Calcolati: a,b,α} \\ {Misurati: e, β, γ, δ} \end{cases}

Tra i dati valgono le seguenti relazioni angolari: φ+ψ=540^o-(β+γ+δ)=ω         1.1

δ=δ_1+δ_2         1.2

Applicando il teorema dei seni ai triangoli T_1 T_2 P, T_2 T_3 Q, P T_2 Q, si ottiene:

\color{black}\displaystyle{c={\frac {a \cdot sinφ} {sin β}}}         1.3

\color{black}\displaystyle{d={\frac {b \cdot sinψ} {sin(δ-δ_1)} }}         1.4

\color{black}\displaystyle{{\frac c {sin(δ-δ_1)}}={\frac d {sinγ}}}         1.5

Sostituendo la 1.3 e la 1.4 nella 1.5 risulta elaborando:

\color{black}\displaystyle{{\frac { sinψ} {sinφ}}={\frac {a \cdot sin γ} {b \cdot sin β}} \cdot {\frac {sin(δ-δ_1)} {sin δ_1}}}

Ponendo:

\color{black}\displaystyle{H={\frac {a \cdot sin γ} {b \cdot sin β}}}, \color{black}\displaystyle{ψ=ω-φ} e sostituendo nella precedente si ottiene:

\color{black}\displaystyle{{\frac { sin(ω-φ)} {sinφ}}=H \cdot {\frac {sin(δ-δ_1)} {sin δ_1}}}         1.6

Applicando la formula di sottrazione del seno sia al primo membro che al secondo della precedente si ha:

\color{black}\displaystyle{{\frac {sinω \cdot cos φ - cosω \cdot sin φ } {sinφ}}=H \cdot {\frac {sinδ \cdot cosδ_1-cosδ \cdot sinδ_1} {sin δ_1}}}

separando, semplificando ed elaborando risulta:

\color{black}\displaystyle{{sinω \frac {cos φ} {sinφ}}-H \cdot sinδ \cdot {\frac 1 {tg δ_1}}=cosω - H \cdot cosδ}         1.7

Ponendo A=cosω-H \cdot cosδ e N=H \cdot sinδ, la 1.7 diventa:

\color{black}\displaystyle{{sinω \frac {cos φ} {sinφ}}-N \cdot {\frac 1 {tg δ_1}}=A}         1.8

Applicando nuovamente il teorema dei seni al triangolo PT_2Q si ottiene:

\color{black}\displaystyle{{\frac c {sin δ_1}}={\frac e {sin(γ+δ_1)}}}         1.9

sostituendo la 1.3 nella 1.9 ed elaborando risulta:

\color{black}\displaystyle{{\frac {sin(γ+δ_1)} {sin δ_1}}={\frac {e \cdot {sinβ}} {a \cdot sinφ}}}

Applicando al primo membro la formula di addizione del seno si ottiene:

\color{black}\displaystyle{{\frac {sinγ \cdot cosδ_1+cosγ \cdot sinδ_1} {sin δ_1}}={\frac {e \cdot {sinβ}} {a \cdot sinφ}}}; elaborando risulta:

\color{black}\displaystyle{{\frac 1 {tgδ_1}}={\frac {e \cdot {sinβ}} {a \cdot sinγ}} \cdot {\frac 1 {sinφ}}-{\frac 1 {tgγ}}};

Ponendo \color{black}\displaystyle{R={\frac {e \cdot {sinβ}} {a \cdot sinγ}}} risulta:

\color{black}\displaystyle{{\frac 1 {tgδ_1}}={\frac R {sinφ}}-ctgγ}         1.10

sostituendo la 1.10 nella 1.8 si ottiene:

\color{black}\displaystyle{{sinω} \cdot {\frac {cosφ} {sinφ}}-N \cdot \left( {{\frac R {sinφ}}-ctgγ} \right)=A}

risolvendo e ponendo \color{black}\displaystyle{B=A-N \cdot ctgγ}, diventa:

\color{black}\displaystyle{{sinω} \cdot {cosφ}=N \cdot R +B \cdot {sinφ}}

Sostituendo \color{black}\displaystyle{{cosφ}=}±\color{black}\displaystyle{{\sqrt{1-sin^2φ}}} nella precedente si ha:

±\color{black}\displaystyle{{sinω} \cdot {\sqrt{1-sin^2φ}}=N \cdot R +B \cdot {sinφ}}

elevando al quadrato ambo i membri e risolvendo si ottiene:

\color{black}\displaystyle{\left({B^2+sin^2ω}\right) \cdot sin^2φ+2 \cdot N \cdot R \cdot B \cdot {sinφ}+\left({N^2 \cdot R^2 -sin^2ω}\right)=0}         1.11

Sostituendo formalmente nella 1.11:

\color{black}\displaystyle{\begin{cases} {c_1={B^2+sin^2ω}} \\ {c_2=2 \cdot N \cdot R \cdot B } \\ {c_3=N^2 \cdot R^2 - sin^2ω} \end{cases}}

si ottiene l’equazione di secondo grado risolvente del problema:

\color{black}\displaystyle{c_1 \cdot sin^2φ + c_2 \cdot sinφ + c_3=0}

Le radici dell’equazione sono:

\color{black}\displaystyle{(sinφ)_{1,2}=\begin{cases} \color{black}\displaystyle{{\frac {-c_2+ \sqrt{c_2^2-4 \cdot c_1 \cdot c_3}} {2 \cdot c1}}} \\ {} \\ \color{black}\displaystyle{{\frac {-c_2-\sqrt{c_2^2-4 \cdot c_1 \cdot c_3}} {2 \cdot c1}}} \end{cases}}

e danno le quattro soluzioni angolari in sessagesimali:

\color{black}\displaystyle{\begin{cases} φ_{11}=arcsin \left(\color{black}\displaystyle{{\frac {-c_2+ \sqrt{c_2^2-4 \cdot c_1 \cdot c_3}} {2 \cdot c1}}} \right) \\ { φ_{12}=180^o-φ_{11}} \\ φ_{21}=arcsin \left(\color{black}\displaystyle{{\frac {-c_2-\sqrt{c_2^2-4 \cdot c_1 \cdot c_3}} {2 \cdot c1}}}\right) \\ { φ_{22}=180^o-φ_{21}} \end{cases}}

riepilogando:

\color{black}\displaystyle{Dati:\begin{cases} {Calcolati: a,b,α} \\ {Misurati: e, β, γ, δ} \end{cases}}

 

\color{black}\displaystyle{Costanti:\begin{cases} {ω=φ+ψ=540^o-(β+γ+δ)} \\ \color{black}\displaystyle{{H={\frac {a \cdot sin γ} {b \cdot sin β}}}} \\ {A=cosω-H \cdot cosδ} \\ {N=H \cdot sinδ} \\ \color{black}\displaystyle{{R={\frac {e \cdot {sinβ}} {a \cdot sinγ}}}} \\ {B=A-N \cdot ctgγ} \end{cases}}

 

\color{black}\displaystyle{Coefficienti:\begin{cases} {c_1={B^2+sin^2ω}} \\ {c_2=2 \cdot N \cdot R \cdot B } \\ {c_3=N^2 \cdot R^2 - sin^2ω} \end{cases}}

 

\color{black}\displaystyle{Soluzioni:\begin{cases} φ_{11}=arcsin \left(\color{black}\displaystyle{{\frac {-c_2+ \sqrt{c_2^2-4 \cdot c_1 \cdot c_3}} {2 \cdot c1}}} \right) \\ { φ_{12}=180^o-φ_{11}} \\ φ_{21}=arcsin \left(\color{black}\displaystyle{{\frac {-c_2-\sqrt{c_2^2-4 \cdot c_1 \cdot c_3}} {2 \cdot c1}}}\right) \\ { φ_{22}=180^o-φ_{21}} \end{cases}}

 

Dopo 20 anni ho pensato di scrivere la soluzione grafica.

Per la soluzione grafica dell’intersezione in questione, usiamo la stessa figura della soluzione analitica:

Fig. 1

Per trovare la posizione dei punti P e Q con i dati misurati: e, β, γ, δ, rispetto ai punti trigonometrici noti T1, T2, T3 costruiamo le 2 figure separatamente.

Fig. 2

Fig. 3

 

Disegniamo in scala i 2 segmenti congiungenti i 3 punti trigonometrici T1, T2, T3 e con i dati misurati, in un disegno a parte, il segmento PQ e le semirette con origine in P e Q con direzioni individuate dagli angoli β, γ, δ, come in Fig. 2 ;

1) tracciamo la semiretta r con origine in T1 formante con il segmento T1T2 un angolo β misurato in senso antiorario rispetto al segmento;

2) tracciamo la semiretta con origine in T1 perpendicolare alla retta r , appartenente al semipiano avente come origine la retta per il segmento T1T2 contenente il punto T3;

3) tracciamo l’asse del segmento T1T2 fino ad intersecare nel punto O1 la retta tracciata al punto 3;

4) disegniamo la circonferenza c1 con contro in O1, passante per il punti T1 e T2;

5) tracciamo la semiretta s con origine in T1 formante con il segmento T1T3 un angolo λ, misurato in senso antiorario rispetto al segmento;

6) tracciamo la semiretta con origine in T1 perpendicolare alla retta s , appartenente al semipiano avente come origine la retta per il segmento T1T2 contenente il punto T3;

7) tracciamo l’asse del segmento T1T3 fino ad intersecare nel punto O2 la retta tracciata al punto 6;

8) disegniamo la circonferenza c2 con centro in O2, passante per il punti T1 e T3;

9) prolunghiamo in figura 2 le due semirette u e v fino an intersecarsi nel punto P’ e consideriamo la semiretta u con origine in P’ passante per P.

10) Il punto P in figura 3 va cercato trasportando la simiretta u con i due punti P e P’ della figura 2 nella figura 3. Occorre percorrere la circonferenza C2 con il punto P’ (origine della semiretta u) facendo passare la semiretta per T1 fino a trovare la configurazione in cui P è punto d’intersezione della semiretta u con la circonferenza C1. Si avrà quindi la semiretta per T1 che intersecherà la circonferenza C1 con il punto P e la circonferenza C2 con il punto P’. Dal punto di vista pratico, si tratta di misurare graficamente il segmento PP’ con  il righello nella figura 2, puntare la matita sul punto T1 della figura 3 e percorrere con lo zero del righello la circonferenza C2, facendo da perno sulla punta della matita, fino ad intersecare il righello con la circonferenza C1 proprio nel punto in cui si legge la misura del segmento PP’.

11) Trovato il punto P in figura 3, si potrà chiudere la figura con i dati noti tracciando il segmento PQ e il segmento QT3.

Analiticamente abbiamo visto che ci possono essere 4 soluzioni. Percorrendo con lo zero del righello la circonferenza c2, facendo perno sulla punta della matita posizionata sul punti T1, le troveremo tutte osservando in quali altri punti la posizione della misura PP’ sul righello intersecherà la circonferenza c1.